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    투수는 원기둥을 던진다.

    직구와 변화구 궤적의 부피는 동일할까?

    김준효(변호사/수학 칼럼니스트)  변호사 김준효 법률사무소 | 입력 :
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  • 우리가 살고 있는 세상은 평면상에 존재하는 2D의 세계가 아니라 부피를 가지는 3D의 세계이다. 2D 세계의 면적, 3D 세계의 원기둥의 부피를 구하는 방법은 아르키메데스가 최초의 주춧돌을 놓았다. 적분은 정적분과 부정적분으로 나누어지는데, 면적과 부피를 구하는 방법은 정적분이다. 적분은 미분과 역관계이다. 미적분은 뉴턴, 라이프니츠가 각각 별개로 창안하였다. 야구 속에서 적분을 발견해본다.

       

    1. ‘순간속도를 적분하면 거리이다.

    1루까지 전력질주 시의 거리수식을 미분하면 순간속도수식을 구할 수 있다. 적분은 미분과 역관계이므로, ‘순간속도수식을 적분하면 거리의 수식을 구할 수 있다 

    [: ‘순간속도 그래프를 적분하면 거리 그래프이다.]

    적분미분.jpg

    2. 직구 궤적의 부피와 변화구 궤적의 부피는 동일할까?

    [직구 궤적의 부피]

    투수가 던진 공에 대하여, 공의 지름 7.4cm, 공은 직선으로 이동함(직구), 공이 투수로부터 포수에게까지 도달하는 거리 18m 등을 가정하고, 공을 대원으로 자르는 단면적(S=π(0.037)2)이 지나간 궤적(원기둥)의 총 부피를 정적분을 이용하여 구해 본다.

     

    [변화구 궤적의 부피]

    변화구는 직구와 동일하게 진행하다가 홈 플레이트 근처에서 아래로 꺾여 진행한다고 가정한다(직선 거리는 18m로 동일). 변화구 궤적(휘어진 원기둥)의 총 부피를 구해 본다.

    * 변화구 궤적의 부피는, 직구 궤적의 동일한 x 좌표에서의 각 단면적을 그대로 평행이동한 단면들의 집합물이다. 따라서 변화구 궤적의 부피와 직구 궤적의 부피는 동일하다.-카발리에리의 원리의 적용례.

    [하기 그림 참조]

    직구변화구.jpg

    그리고 위 양자의 계산 결과 값은 우리가 알고 있는 공식인 πr2h(r=반지름, h=높이)에 의한 계산과도 같다.

     

        π=3.14로 두면, 3.14× (0.037)2× 18=0.08(m3)

    0.08m3=80,000cm3=80리터

     

    카발리에리의 원리  

    2개의 입체에서 한 평면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가 항상 같으면 2개의 입체의 부피는 같다는 원리. 이탈리아의 수학자 F.B.카발리에리가 이 원리를 발견함(한국과학창의재단 과학백과사전 참조).

    동전을 쌓을 때, 똑바로 쌓거나 삐뚤삐뚤 쌓거나 동전의 개수가 같으면 쌓은 동전 전체의 부피가 같은 것을 생각하면 매우 자연스러운 원리(대한수학회 수학백과 참조 - 하기 사진 참조).

    동전쌓기.JPG

    (필자 저 '야구수학 스파크(2013, 예린원)' 중 일부 참고) 

    김준효(변호사/수학 칼럼니스트) 변호사 김준효 법률사무소
    주요업무분야
    • 주요업무 일반형사, 일반민사, 과학기술, 외국인 사건
    경력
    • 한국발명진흥회, 국제지식재산연수원, 아주대학교 공학대학원 등 강의
    • 동아대 법학전문대학원 초빙교수(2009년)

     

     

     

     

     

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